Algo de lo que tenía ganas desde hace mucho tiempo era escribir un pequeño artículo acerca de la escala temperada, sobre todo desde que escuché el capítulo Disonancia de Catástrofe Ultravioleta.
El estudio de las diferentes escalas es algo (o era, al menos en mis tiempos) que se estudiaba en plan memorístico entremezclado con la teoría del Lenguaje Musical (aka solfeo). Y la verdad es que a un niño toda esa información metida ahí, con calzador, no le resulta de gran interés.
Pero sí que es interesante el proceso de resumir y explicar el origen de la escala musical que se utiliza hoy en día en el mundo occidentalizado. Más que nada como ejercicio propio para aclarar conceptos y, ya de paso, que quede por escrito (que la memoria es frágil).
Así que comencemos ya.
La serie armónica. #
Se llama serie armónica a la sucesión de sonidos que se forman a partir de un sonido base o frecuencia fundamental, mediante el proceso de ir multiplicando su frecuencia por 2, 3, 4, etc…
En un instrumento musical, o en cualquier cosa que vibre, la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda vibrante, o del tubo resonante (cuando lo que vibra es el aire). De esta forma, podemos generar una serie armónica a partir de una cuerda que vibra simplemente acortando su longitud al dividirla por 2, luego por 3, por 4, etc…
| Armónico | Frecuencia | Comentario |
|---|---|---|
| 1º | F | Frecuencia base o fundamental. |
| 2º | 2·F | Primera octava. |
| 3º | 3·F | Quinta respecto del 2^o armónico. |
| 4º | 4·F | Segunda octava. |
| 5º | 5·F | Tercera mayor respecto del 4^o armónico. |
| 6º | 6·F | Tercera menor respecto del 5^o armónico. Octava del 3^er armónico. |
| 7º | 7·F | No se utiliza para construir intervalos. |
| 8º | 8·F | Tercera octava. |
| 9º | 9·F | Segunda mayor respecto del 8^o armónico. |
| 10º | 10·F | Segunda mayor respecto del 9^o armónico. |
| 11º | 11·F | No se utiliza para construir intervalos. |
| 12º | 12·F | Octava del 6^o armónico. |
| 13º | 13·F | No se utiliza para construir intervalos. |
| 14º | 14·F | Aunque es una octava del 7^o armónico, al no ser útil éste para los intervalos, tampoco lo es su octava. |
| 15º | 15·F | Quinta justa respecto del 10^o armónico. |
| 16º | 16·F | Cuarta octava. Segunda menor respecto del 15^o armónico. |
— Uffff… pero, ¿qué es todo esto que pone en esta tabla?
No nos echemos las manos a la cabeza y vayamos por partes. Lo primero que debemos saber es qué es eso de una “octava”. Una octava no es más que una nota que está a una frecuencia justo el doble de otra. Lo que tienen de característico las octavas es que las percibimos como si fuesen el mismo sonido, aunque sean efectivamente más agudas o más graves. Si usamos el ejemplo de un piano (que resulta muy útil para explicar todo esto), veremos que sus teclas se ordenan según una disposición característica por la que se forman grupos de teclas que se repiten a lo largo de todo el teclado. Si cogemos dos teclas que ocupen la misma posición dentro de dos grupos consecutivos, esas dos teclas reproducirán la misma nota, tendrán el mismo sonido, solo que uno más agudo que el otro.
Una escala musical consiste en una serie de sonidos de diferente frecuencia, ordenados de menor a mayor, y limitados por una octava. Es decir, al construir una escala nos quedamos únicamente con los sonidos que quedan entre una nota y su octava más cercana, porque luego no hace falta más que repetir las octavas de cada uno de estos sonidos sucesivamente.
Se llama intervalo a la distancia entre dos notas musicales. Así, la distancia entre dos notas consecutivas es un intervalo de segunda, la distancia entre la primera y última nota de un grupo de tres consecutivas es un intervalo de tercera, etc… Luego los intervalos pueden ser menores, justos, o mayores, pero de eso ya hablaremos en otra ocasión (pero no tengáis muchas esperanzas).
¿Cómo construimos los sonidos intermedios de la escala, si todos los que hemos obtenido en la serie armónica están claramente fuera de la octava? Sí, es cierto. El segundo armónico es la octava del primero (tiene justamente el doble de su frecuencia), y a partir de ahí las frecuencias siguen aumentando, así que no tenemos ningún valor que esté entre el primero (la fundamental) y el segundo (la primera octava).
El secreto está en que lo interesante de la serie armónica no son los valores de las frecuencias que produce, sino en la relación que existe entre ellas. Vamos a escuchar un ejemplo de escala armónica en la que hemos tomado como base la frecuencia de 110 Hz:
6º armónico a 660 Hz 7º armónico a 770 Hz 8º armónico a 880 Hz 10º armónico a 1100 Hz 11º armónico a 1210 Hz
¿Qué tal andamos de oído? #
Venga, va. Seguro que habéis reproducido los sonidos de la escala anterior. ¿Qué tal han sonado? ¿Bien? ¿No os ha chirriado ninguno?
Vamos a revisarlos un poco.
Si reproducimos desde el primer armónico hasta el sexto, todo parece que encaja. Los sonidos suenan “armónicamente”, parece que ninguno desafina y entre todos forman una progresión que nos resulta agradable al oído. Nuestra tradición musical también influye en que nuestra percepción sea esa, ojo. Toda nuestra herencia musical condiciona nuestros gustos e influye en lo que nos parece armónico y lo que nos resulta disonante.
Pero llegamos al séptimo armónico y… hmmmm. No. Definitivamente ese sonido no pega mucho con los anteriores, ¿no creéis?. Parece como si se rompiese la progresión que sonaba tan bien y esa nota esté desafinada respecto de las demás. Esa es la razón por la que en la primera tabla se indicaba que el séptimo armónico no se utiliza para construir intervalos.
Aquí tenéis la secuencia 1º-2º-3º-4º-5º-6º-7º en un único fichero:
Venga, vamos a reproducir de nuevo nuestra escala armónica pero esta vez nos saltamos el séptimo armónico por lo mal que suena y seguimos hasta el onceavo, con lo que la secuencia de armónicos queda en 1º-2º-3º-4º-5º-6º-8º-9º-10º-11º:
¿Qué tal ahora? ¿Mejor? Algo sí ha mejorado, ¿no?
Alguno de vosotros habrá dudado en el noveno armónico y se habrá quedado con la sensación de que ni desentona ni queda mal del todo. Si probásemos a quitar el noveno la escala nos podría sonar casi mejor, pero eso no quiere decir que el noveno sea de los que “chirríen”, así que lo conservamos. Pero el onceavo definitivamente suena mal y por eso en la primera tabla también figura la indicación de que no es útil para construir intervalos.
Si continuamos con los siguientes sonidos, veremos (mejor dicho, escucharemos) que el treceavo armónico también es de los desagradables, y con el catorceavo ocurre lo mismo (recordemos que el catorceavo armónico no es más que una octava -el doble- del séptimo armónico, y por lo tanto es igual de “feo”).
Así que de nuestra escala armónica nos valen todos los sonidos, excepto el 7º, 11º, 13º y 14º. El 9º lo dejamos al gusto del consumidor y yo he decidido conservarlo, por lo que nos queda la secuencia 1º-2º-3º-4º-5º-6º-8º-9º-10º-12º-15º-16º:
¡Que empiece la fiesta! #
¿Recordáis lo que decíamos de la octava? Dos notas que estén a distancia de una octava suenan de forma parecida, solo que una más aguda que la otra (voy a ser muy pesado con esto, tenéis que disculparme). Pues bien, para construir una escala no tenemos que usar frecuencias tan dispares. Basta con que nos quedemos con frecuencias que estén entre la fundamental y la primera octava.
Pero como hemos comentado también antes, resulta que todos nuestros armónicos están por encima de la primera octava, así que lo que acabamos de decir no parece que sirva de mucho. Podemos hacer una cosa: bajar los armónicos una, dos, tres octavas, o las que sean necesarias, hasta que queden dentro de la primera.
En resumen, vamos a coger las frecuencias de la tabla de nuestros armónicos “útiles”, y vamos a dividir su frecuencia por dos para bajarlos una octava; y si la frecuencia resultante sigue estando muy alejada de la frecuencia fundamental, los volveremos a dividir por dos tantas veces como sea necesario. De esta forma estamos bajando las notas de los armónicos las octavas que sean necesarias para que queden en la misma octava que la frecuencia fundamental que originó la serie armónica, pero como solamente los estamos cambiando de octava, en realidad siguen siendo la misma nota. Para bajar una octava simplemente dividiremos la frecuencia entre dos; para bajar dos octavas dividiremos entre dos, dos veces (esto es, entre cuatro); para bajar tres octavas dividiremos entre ocho, y así cuantas veces sea necesario.
Así pues, y con nuestros armónicos “útiles” (la secuencia 1º-2º-3º-4º-5º-6º-8º-9º-10º-12º-15º-16º), nos quedaría:
| Armónico | Frecuencia | Frecuencia corregida |
|---|---|---|
| 1º | 110 Hz | 110 Hz |
| 2º | 220 Hz | 220 : 2 = 110 Hz (bajamos una octava) |
| 3º | 330 Hz | 330 : 2 = 165 Hz (bajamos una octava) |
| 4º | 440 Hz | 440 : 4 = 110 Hz (bajamos dos octavas) |
| 5º | 550 Hz | 550 : 4 =137,5 Hz (bajamos dos octavas) |
| 6º | 660 Hz | 660 : 4 = 165 Hz (bajamos dos octavas) |
| 8º | 880 Hz | 880 : 8 = 110 Hz (bajamos tres octavas) |
| 9º | 990 Hz | 990 : 8 = 123,75 (bajamos tres octavas) |
| 10º | 1100 Hz | 1100 : 8 = 137,5 Hz (bajamos tres octavas) |
| 12º | 1320 Hz | 1320 : 8 = 165 Hz (bajamos tres octavas) |
| 15º | 1650 Hz | 1650 : 8 = 206,25 Hz (bajamos tres octavas) |
| 16º | 1760 Hz | 1760 : 16 = 110 Hz (bajamos cuatro octavas) |
Como se puede apreciar, ahora muchas de las frecuencias de los armónicos se repiten, por lo que volvemos a quedarnos solamente con aquellas que no están duplicadas:
| Armónico | Frecuencia | Frecuencia corregida |
|---|---|---|
| 1º | 110 Hz | 110 Hz |
| 3º | 330 Hz | 330 : 2 = 165 Hz (bajamos una octava) |
| 5º | 550 Hz | 550 : 4 =137,5 Hz (bajamos dos octavas) |
| 9º | 990 Hz | 990 : 8 = 123,75 (bajamos tres octavas) |
| 15º | 1650 Hz | 1650 : 8 = 206,25 Hz (bajamos tres octavas) |
Estos serían los sonidos de los armónicos reducidos a la primera octava:
Ahora vamos a ordenarlos:
| Armónico | Frecuencia | Frecuencia corregida |
|---|---|---|
| 1º | 110 Hz | 110 Hz |
| 9º | 990 Hz | 990 : 8 = 110 * 9/8 = 123,75 Hz |
| 5º | 550 Hz | 550 : 4 = 110 * 5/4=137,5 Hz |
| 3º | 330 Hz | 330 : 2 = 110 * 3/2= 165 Hz |
| 15º | 1650 Hz | 1650 : 8 = 110 * 15/8= 206,25 Hz |
Y, ¿qué tal se escucharía esta secuencia ascendente? Vamos allá:
¡Anda! Esto va cogiendo cuerpo. Seguro que habéis tarareado el “Do-Re-Mi” en las tres primeras notas. Aunque la nota fundamental que hemos escogido, la de 110 Hz, no es un Do, la secuencia que acabamos de construir suena parecido. Esto es así porque son las tres primeras notas de una escala mayor y sus intervalos (la “distancia” sonora que hay entre una nota y otra) son los mismos que los que tiene la escala que conoce todo el mundo, que es la escala mayor de Do.
Si no dais demasiada vergüenza cantando, e intentáis seguir la secuencia canturreando el “Do-Re-Mi…” (¡pero insisto! no es un Do-Re-Mi real) notaréis que le faltan las notas que debieran ocupar el cuarto lugar (Fa) y el sexto lugar (La). Y para cerrar la cancioncilla, lo suyo sería finalizar con la octava (el Do más agudo).
Para que podáis comprobarlo, vamos a repetir la secuencia anterior, pero dejando los silencios de las notas que faltan y cerrando con la octava:
¿Habéis completado los huecos que faltan? Salen solos, ¿verdad? De nuevo, es la tradición musical la que nos condiciona.
La importancia de las proporciones #
¿Qué es lo que hace que los sonidos que hemos generado suenen más o menos bien? Al fin y al cabo no hemos hecho más que multiplicar y dividir una frecuencia cualquiera.
Pues bien, ese es el secreto: las proporciones. En la tabla de armónicos corregidos aparecen las proporciones existentes entre la frecuencia fundamental y cada una de las demás notas con las que hemos ido construyendo nuestra “protoescala”, y que podéis volver a ver en la siguiente tabla:
| Nota o grado | Proporción entre frecuencias | Denominación |
|---|---|---|
| 1º | 1:1 | Tónica |
| 2º | 9:8 | Supertónica |
| 3º | 5:4 | Mediante |
| 5º | 3:2 | Dominante |
| 7º | 15:8 | Subtónica o sensible |
En esta nueva clasificación, hemos dejado de llamar a las notas por su armónico, y simplemente las hemos vuelto a numerar en orden ascendente. Hemos dejado vacante el cuarto y sexto lugar, porque ya hemos visto que ahí nos faltan notas que todavía no sabemos cómo van a aparecer. Pero lo importante es que nos fijemos que unas simples proporciones de números enteros son las que manejan todo el cotarro, y eso era precisamente lo que embelesaba a los antiguos griegos: la música emanaba de la naturaleza, haciendo que unas simples razones matemáticas creasen sonidos armónicos. Creando belleza.
¿Completamente armónicos? ¡No! Una pequeña aldea gala se resiste a… Ay, no, perdonad, que esto no iba aquí. Os diré que unos siglos más tarde, a los músicos se les hincharon las narices con tanta tontería de números enteros y adoptaron una escala que se olvida completamente de los números enteros (salvo para la octava). Pero no adelantemos acontecimientos.
Volvamos a nuestras proporciones.
Completando nuestra protoescala… #
Habíamos dejado nuestra escala sin terminar. Nos quedaban dos huecos en las posiciones cuarta y sexta, ¿recordáis? Pues vamos a completarlos.
La cuarta nota, o cuarto grado de nuestra escala, se consigue mediante el intervalo de quinta, solo que en lugar de subir lo que hacemos es bajar.
En otras palabras, si en nuestra protoescala conseguimos la quinta nota multiplicando la frecuencia fundamental por la relación 3/2, lo que haremos ahora será dividir la frecuencia fundamental por 3/2, o dicho de otra forma, multiplicar por la razón inversa 2/3.
Sí, sí, ya sé que os habéis dado cuenta. Si multiplicamos la frecuencia fundamental por 2/3, obtendremos una frecuencia menor, y por lo tanto fuera de nuestra octava, ¡mecachis! Pero eso lo arreglamos fácilmente: multiplicamos por dos la frecuencia resultante para volver a meterla dentro de nuestra octava. Igual que antes tuvimos que dividir por dos para “corregir” las frecuencias de los armónicos y que no fuesen tan altas, ahora lo que hacemos es una corrección similar, pero multiplicando en lugar de dividir.
Así pues, nuestra cuarta nota la obtendremos multiplicando por 2/3 y luego multiplicando otra vez por 2, con lo que la relación total será de 4/3 respecto a la frecuencia fundamental o tónica. Como podéis ver, estamos otra vez ante una relación de números enteros sencillos. Qué máquinas eran estos griegos…
Nuestra cuarta nota, o cuarto grado de la escala, sería por lo tanto de 110 · 4/3 = 146,666… Hz, y sonaría así:
¿Y qué pasa con la nota de la sexta posición? Pues bien, la sexta posición se puede calcular tomando una quinta desde la segunda nota. O lo que viene a ser lo mismo: la distancia entre la sexta nota y la segunda tiene que ser la misma que hay entre la quinta nota y la primera, lo que se conoce como intervalo de quinta.
Con esto, la frecuencia de nuestra sexta nota tendría que ser la correspondiente a la segunda nota multiplicada por la razón de quinta, que es 3/2. Como a su vez la segunda nota tiene una frecuencia que es 9/8 respecto de la fundamental, tenemos que la frecuencia de la sexta nota tiene que ser de (3/2)·(9/8)=27/16.
Visto todo lo anterior, es fácil calcular que la sexta nota deberá tener una frecuencia de 110 · 27/16 = 185,625 Hz, y sonará tal que así:
¿Cómo ha quedado nuestra escala? Vamos a comprobarlo:
| Nota o grado | Proporción entre frecuencias | Frecuencia | Denominación |
|---|---|---|---|
| 1º | 1:1 | 110 Hz | Tónica |
| 2º | 9:8 | 123,75 Hz | Supertónica |
| 3º | 5:4 | 137,5 Hz | Modal o mediante |
| 4º | 4:3 | 146,666… Hz | Subdominante |
| 5º | 3:2 | 165 Hz | Dominante |
| 6º | 27:16 | 185,625 Hz | Superdominante |
| 7º | 15:8 | 206,25 Hz | Subtónica o sensible |
| 1º (Octava) | 2:1 | 220 Hz | Tónica (octava) |
Escala diatónica completa
Venga, que estáis como locos por escuchar la escala completa. Aquí la tenéis:
¡Genial! ¡Somos unos monstruos! ¡Hemos construido una escala musical a partir de la nada! Bueno, pues no nos pongamos estupendos, porque esto no ha hecho más que comenzar.
¿Son iguales todos los intervalos de nuestra escala? #
Vamos a fijarnos un poco más en nuestra escala. ¿Están todas las notas igual de “separadas” entre sí? ¿Hay algunas que estén más “juntas”?
Comparemos la relación de frecuencias que hay entre cada par de notas:
| Nota o grado | Proporción entre frecuencias respecto de la tónica | Proporción entre frecuencias respecto de la nota anterior |
|---|---|---|
| 1º | 1:1 | |
| 2º | 9:8 | 9/8 : 1 = 9/8 |
| 3º | 5:4 | 5/4 : 9/8 = 10/9 |
| 4º | 4:3 | 4/3 : 5/4 = 16/15 |
| 5º | 3:2 | 3/2 : 4/3 = 9/8 |
| 6º | 27:16 | 27/16 : 3/2 = 9/8 |
| 7º | 15:8 | 15/8 : 27/16 = 10/9 |
| 1º (Octava) | 2:1 | 2/1 : 15/18 = 16/15 |
| Relación de frecuencias entre grados de la escala |
Como podemos ver, las distancias entre notas más grandes son de una relación de 9:8, mientras que las más pequeñas son de 16:15. A la distancia o relación de 9:8 es a lo que llamaremos un tono, mientras que a la distancia o relación de 16:15 la llamaremos semitono.
Comienzan los problemas #
Sin embargo, vemos que entre la segunda y tercera nota de nuestra escala hay una distancia de 10:9 que, si bien es parecida a la de 9:8, no es exactamente la misma. Ocurre lo mismo entre la sexta y la séptima.
Esta pequeña diferencia hace que si aplicamos la distancia del semitono dos veces, la relación que obtenemos no es exactamente la del tono. Veámoslo en detalle:
Subir un semitono corresponde a multiplicar la frecuencia por la relación 16:15 que hemos visto antes. Por lo tanto, subir dos semitonos equivale a aplicar esa relación dos veces y el factor por el que estaremos multiplicando la frecuencia será de:
(16:15)2 = 256:225 = 1,137777…
Pero si en lugar de subir dos semitonos decidimos subir un tono, es decir, la relación de 9:8, resulta que el factor por el que multiplicamos es en este caso:
9:8 = 1,125 que obviamente no es lo mismo que 1,137777…
Otro efecto de la no correspondencia entre el semitono como mitad exacta de un tono es que si tenemos dos notas separadas por un tono, la nota intermedia entre ambas será diferente en función de si la obtenemos subiendo un semitono desde la nota inferior o de si la obtenemos bajando un semitono desde la nota superior.
Esta desigualdad entre las distancias de las notas de la escala se da en cualquier sistema de afinación que utilice razones de números enteros, y fue una pequeña china en el zapato que estuvo incordiando durante muchos siglos.
¿Hay más métodos para construir escalas? #
Respuesta corta: sí.
El método que hemos visto, construyendo una escala utilizando los sonidos de la serie armónica y reduciendo o aumentando sus frecuencias para ponerlos todos en la misma octava, no es la única forma de construir una escala. De hecho, más que una alternativa ha sido una necesidad la búsqueda de otras escalas que eliminen o al menos atenúen los problemas generados por el hecho de que las distancias entre las notas no sean iguales cuando utilizamos las relaciones que aparecen en la escala armónica.
SPOILER: Hay construcciones de escalas diferentes, y si comparásemos sus sonidos veríamos que están “desafinadas” unas respecto de otras. Pero todas suenan bien, no os preocupéis.
No hay ningún método que iguale los semitonos (usando números enteros, se entiende). Las diferentes soluciones que se fueron adoptando a lo largo del tiempo simplemente redistribuían, con mayor o menor acierto, esa desigualdad entre los diferentes semitonos de la escala.
Por ejemplo, para arreglar ese intervalo de 10:9 que nos aparecía en la escala que hemos construido antes, podríamos calcular la tercera nota para que guardase una relación de 9:8 respecto de la segunda, pero entonces la distancia entre la cuarta y la tercera ya no sería de 16:15.
La afinación pitagórica #
Los antiguos griegos, y Pitágoras entre ellos, eran unos estudiosos de la teoría musical y de las relaciones entre los intervalos. Se puede decir que el sistema musical occidental moderno tiene sus orígenes en las escalas griegas, y según esta gente existían tres intervalos principales que respondían a una relación de números enteros:
| Intervalo | Relación | Significado |
|---|---|---|
| Octava | 2:1 | Es la distancia sonora entre los sonidos producidos por dos cuerdas, donde la longitud de una es el doble de la otra. |
| Quinta | 3:2 | Es la distancia sonora entre los sonidos producidos por dos cuerdas cuya relación de longitudes es de 3:2. |
| Cuarta | 4:3 | Es la distancia sonora entre los sonidos producidos por dos cuerdas cuya relación de longitudes es de 4:3. |
De estos tres intervalos, el de octava realmente no aportaba musicalidad, porque no hace más que subir y bajar octavas, pero en realidad la nota sigue siendo la misma (sí, soy un pesado). El importante de veras era el intervalo de quinta, mientras que el de cuarta no era más que uno de quinta “marcha atrás”, como también hemos visto antes.
Estas proporciones ya nos suenan, porque aparecían en la progresión armónica que hemos estado viendo con anterioridad. ¿Qué tienen de importante estos intervalos? Pues básicamente, que les sonaban bien a los griegos (o mejor dicho, les sonarían bien a cualquiera). Y fijaos si les sonaban bien, que siguen dominando la música actual (aunque los hemos cambiado un poco). Además de sonar bien, las relaciones entre ellos estaban definidas por números enteros y oye, eso a la gente ilustrada como los filósofos y matemáticos griegos les molaba. Había algo guay en que la Naturaleza fuese tan sabia de poder hacer música con los números.
¿Y cómo suenan estos intervalos? Pues vamos a escucharlos.
Nuestra nota base será ahora un La 440 Hz, que corresponde con un La4. Lo del 4 no va por lo de 440, sino porque a las notas se les asigna un número que indica en qué octava están.
Para entendernos, si agrupamos las teclas de un piano por octavas, el primer grupo de Do a Si sería la primera octava, y esas notas pasarían a llamarse Do1..Si1, con el segundo grupo tendríamos Do2..Si2, y así hasta recorrer todo el teclado (quedarían algunas notas sueltas tanto a la izquierda como a la derecha, sin completar su correspondiente octava).
Cada vez que cambiamos de octava, lo que tenemos son las mismas notas que en la octava anterior, pero cuya frecuencia es el doble. Es por eso que dos La de diferentes octavas nos suenan igual, aunque uno sea más grave y el otro más agudo. Recordad esto, porque luego será necesario utilizarlo (ya me ocupo yo de machacároslo).
Pues bien, el La de la cuarta octava es el La4, y es la nota que suena a 440Hz. Esto implica que las frecuencias de los intervalos de cuarta, quinta y octava serán los siguientes:
| Intervalo | Frecuencia fundamental | Relación | Frecuencia del intervalo |
|---|---|---|---|
| Tónica | 440 Hz | ||
| Cuarta | 440 Hz | 4:3 | 586,666… Hz |
| Quinta | 440 Hz | 3:2 | 660 Hz |
| Octava | 440 Hz | 2:1 | 880 Hz |
Y aquí tenemos los sonidos correspondientes:
¿Qué significa eso de “Tónica”? Cuando hablamos de la nota tónica nos referimos a la nota base de la escala, es decir, a la nota a partir de la cual se forman todas las demás. Hemos cogido nuestro La4 como nota tónica, o nota base, y a partir de él hemos calculado las frecuencias de los intervalos de cuarta, quinta y octava.
La nota resultante del intervalo de cuarta sería la cuarta nota de la escala formada a partir de nuestro La4. De igual forma, la nota resultante del intervalo de quinta sería la quinta nota de la escala formada a partir de ese mismo La4.
Y la nota resultante del intervalo de octava sería la octava nota de nuestra escala, pero como las escalas tienen siete notas (Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si si comenzamos por un Do, o La-Si-Do-Re-Mi-Fa-Sol si comenzamos por el La), esta octava nota no es más que la tónica de la siguiente octava. Es decir, que sería otro La, pero más agudo: un La5.
Pues bien, con la nota tónica, la cuarta y la quinta de una escala ya podemos construirnos una línea básica de acompañamiento que encajaría con muchísimas composiciones musicales. No tenéis más que probar a reproducir los sonidos anteriores, por ejemplo, en esta secuencia: Tónica-Cuarta-Quinta-Cuarta-Tónica… y así sucesivamente.
Venga, va, ya sé que entonáis muy mal, así que os lo pongo yo:
Y no estoy exagerando: muchas, muchísimas canciones actuales utilizan una serie de acordes con la progresión I-IV-V. Puede cambiar la tonalidad, pero no la progresión.
Si os pica la curiosidad y leéis un poco más sobre armonía (cosa que no váis a encontrar aquí), comprenderéis que dentro de una escala hay notas que le dan la estructura, es decir, donde reside la fuerza de la escala, y otras donde están los detalles, el sentimiento. A las notas que estructuran la escala se les llaman grados tonales, y a las notas que le dan expresión y sentimiento les llamamos grados modales. Todo esto dicho así burda y rápidamente. Que me perdonen los músicos que se sientan ofendidos, pero para ofenderse ya está Twitter.
Nuestros intervalos de cuarta y quinta forman la estructura de nuestra escala porque junto con la tónica, forman los tres grados más importantes de la escala:
- Tónica, o grado I
- Subdominante, cuarta, o grado IV
- Dominante, quinta, o grado V
Por ahora, nuestra escala pitagórica sigue respetando las mismas proporciones que ya vimos antes cuando construimos la escala diatónica. Y os estaréis preguntando qué ocurre con las demás notas de la escala. ¿También surgen de forma natural como relaciones de enteros? Pues sí. Vamos a verlos:
Al señor Pitágoras le molaba el intervalo de quinta, como buen rockero. Así que le dio por estudiar las notas que salían aplicando el intervalo de quinta sucesivamente. Nosotros no íbamos a ser menos, así que pongámonos manos a la obra:
| Intervalo | Frecuencia de partida | Relación | Frecuencia de la quinta |
|---|---|---|---|
| 1ª Quinta | 440 Hz | 3:2 | 660 Hz |
| 2ª Quinta | 660 Hz | 3:2 | 990 Hz |
| 3ª Quinta | 990 Hz | 3:2 | 1485 Hz |
| 4ª Quinta | 1485 Hz | 3:2 | 2227,5 Hz |
| 5ª Quinta | 2227,5 Hz | 3:2 | 3341,25 Hz |
| 6ª Quinta | 3341,25 Hz | 3:2 | 5011,875 Hz |
| 7ª Quinta | 5011,875 Hz | 3:2 | 7517,8125 Hz |
| 8ª Quinta | 7517,8125 Hz | 3:2 | 11276,71875 Hz |
| 9ª Quinta | 11276,71875 Hz | 3:2 | 16915,078125 Hz |
| 10ª Quinta | 16915,078125 Hz | 3:2 | 25372,6171875 Hz |
| 11ª Quinta | 25372,6171875 Hz | 3:2 | 38058,92578125 Hz |
| 12ª Quinta | 38058,92578125 Hz | 3:2 | 57088,388671875 Hz |
Ahora fijémonos en las frecuencias que nos han salido. Partiendo de nuestra frecuencia inicial de 440 Hz hemos llegado a más de 57 KHz. La frecuencia máxima audible para un ser humano (y joven) es de unos 20 KHz, así que nos hemos pasado tres pueblos.
Supongo que os estaréis preguntando por qué hemos parado en la decimosegunda quinta. Sed pacientes.
La Quinta del Lobo #
Ahora es el momento de recordar lo que hemos dicho sobre las octavas (no sé si os lo he comentado antes X-D): cuando pasamos de la octava, las notas que tenemos no son más que las mismas notas, pero con frecuencia doble. Si pasamos a la siguiente octava, doblamos la frecuencia; si subimos otra octava más, las frecuencias serán cuatro veces las iniciales; otra octava más y ya tendremos las frecuencias multiplicadas por 8, y así sucesivamente.
¿A dónde pretendemos llegar? Pues que claramente, si en la tabla anterior nuestra frecuencia inicial era de 440 Hz, su octava será de 880 Hz y por lo tanto cualquier nota superior a 2 x 440 = 880 Hz estará en una octava diferente a la de partida, cualquier nota superior a 2 x 880 = 1760 Hz estará dos octavas más arriba, etc…
Lo que toca hacer a continuación, por si no lo intuíais, es corregir la tabla anterior para acomodar las frecuencias de la cadena de quintas a notas que estén todas en la misma octava. Para ello iremos dividiendo por 2 las frecuencias que hemos calculado, hasta obtener valores que estén entre 440 y 880 (que son los límites de nuestra octava inicial).
| Intervalo | Frecuencia sin corregir | Corrección | Frecuencia corregida |
|---|---|---|---|
| 1ª Quinta | 660 Hz | No | 660 Hz |
| 2ª Quinta | 990 Hz | :2 | 495 Hz |
| 3ª Quinta | 1485 Hz | :2 | 742,5 Hz |
| 4ª Quinta | 2227,5 Hz | :4 | 556,875 Hz |
| 5ª Quinta | 3341,25 Hz | :4 | 835,3125 Hz |
| 6ª Quinta | 5011,875 Hz | :8 | 626,484375 Hz |
| 7ª Quinta | 7517,8125 Hz | :16 | 469,86328125 Hz |
| 8ª Quinta | 11276,71875 Hz | :16 | 704,794921875 Hz |
| 9ª Quinta | 16915,078125 Hz | :32 | 528,596191406 Hz |
| 10ª Quinta | 25372,6171875 Hz | :32 | 792,894287109 Hz |
| 11ª Quinta | 38058,92578125 Hz | :64 | 594,670715332 Hz |
| 12ª Quinta | 57088,388671875 Hz | :64 | 446,003036499 Hz |
Sí, lo habéis adivinado. La razón de haber parado en la decimosegunda quinta es que cuando corregimos la frecuencia para bajarla hasta la octava de partida, nos sale una frecuencia que es muy parecida a la frecuencia de base, nuestro La4 a 440 Hz. Y aquí es donde los griegos se quedaron chafados: sale una frecuencia parecida, pero no igual.
Pero, ¿por qué esta diferencia? ¿No se supone que la Naturaleza era sabia y que la música emanaba de forma natural de los números enteros? Bueno, pues parece que no del todo.
Comparemos el resultado de aplicar siete octavas o doce quintas a la misma nota de partida:
| Frecuencia de la tónica | Intervalos aplicados | Relación | Frecuencia resultante |
|---|---|---|---|
| 440 Hz | 7 octavas | 27 : 1 | 56320 Hz |
| 440 Hz | 12 quintas | (3/2)12 : 1 | 57088,388671875 Hz |
Ayyyyy… el balón se ha ido al larguero. Resulta que no, que la Naturaleza no es tan sabia. La nota que nos sale si aplicamos doce quintas consecutivas NO corresponde con la séptima octava.
A ese doceavo intervalo de quinta se le llama la quinta del lobo, por esa ligera disonancia que hacía que no coincidiese exactamente con la tónica, y a la diferencia entre ambas notas se le llama coma pitagórica. Esta disonancia es la que se evita con la escala temperada moderna, y que es la que estamos acostumbrados a escuchar.
Pero, ¿realmente usaban 7 octavas los griegos? Pues no, la verdad. Ni María Callas, vamos. Dejadme que os explique todo esto de las quintas de otra forma, a ver si así.
Rebobinemos un poco hasta el punto donde os comentaba que un intervalo de cuarta no era más que una quinta “marcha atrás”: si subimos un intervalo de quinta y luego reducimos una octava, lo que estamos haciendo es bajar un intervalo de cuarta.
— ¿Me estás tomando el pelo?
Que no, que no, ya lo expliqué antes. Vamos a verlo de nuevo:
- Subir una quinta es multiplicar la frecuencia original por una razón de 3:2.
- Bajar una octava es dividir la frecuencia por 2.
- Si subimos una quinta y bajamos una octava, el factor que estamos aplicando es de (3/2)/2 = 3/4.
- Multiplicar por 3/4 es lo mismo que dividir por 4/3.
- 4/3 es la proporción de un intervalo de cuarta, y si estamos dividiendo es que estamos bajando en lugar de subir.
- De todo esto podemos asegurar que subir una quinta y luego bajar una octava equivale en conjunto a bajar una cuarta.
- Entendéis ahora lo de la quinta “marcha atrás”?
Pues vamos a construir la progresión de quintas, pero sin que se nos disparen las octavas. No vamos a ir subiendo quinta tras quinta, sino que vamos a ir aplicando una subida de quinta, luego una bajada de cuarta, después subimos otra quinta, a continuación bajamos otra cuarta, y así sucesivamente. Nos quedaría esto:
| Intervalo | Frecuencia de partida | Relación | Frecuencia de la quinta |
|---|---|---|---|
| Tónica | 440 Hz | 1:1 | 440 Hz |
| ↑ Quinta | 440 Hz | 3:2 | 660 Hz |
| ↓ Cuarta | 660 Hz | 3:4 | 495 Hz |
| ↑ Quinta | 495 Hz | 3:2 | 742,5 Hz |
| ↓ Cuarta | 742,5 Hz | 3:4 | 556,875 Hz |
| ↑ Quinta | 835,3125 Hz | 3:2 | 835,3125 Hz |
| ↓ Cuarta | 626,484375 Hz | 3:4 | 626,484375 Hz |
| ↑ Quinta | 939,7265625 Hz | 3:2 | 939,7265625 Hz |
| ↓ Cuarta | 704,794921875 Hz | 3:4 | 704,794921875 Hz |
| ↑ Quinta | 1057,192382812 Hz | 3:2 | 1057,192382812 Hz |
| ↓ Cuarta | 792,894287109 Hz | 3:4 | 792,894287109 Hz |
| ↑ Quinta | 1189,341430664 Hz | 3:2 | 1189,341430664 Hz |
| ↓ Cuarta | 892,006072998 Hz | 3:4 | 892,006072998 Hz |
Estos son los sonidos correspondientes:
Habréis visto que con este sistema de generación de quintas no se nos disparan las frecuencias tanto como antes. Pero aún así, hay algunas que han sobrepasado la octava (si nuestra tónica es de 440 Hz, todo lo que esté de 880 Hz para arriba estará en otra octava diferente). Vamos a normalizarlo todo, otra vez, para dejarlo todo dentro de la misma octava:
| Intervalo | Frecuencia sin corregir | Corrección | Frecuencia corregida |
|---|---|---|---|
| Tónica | 440 Hz | No | 440 Hz |
| ↑ Quinta | 660 Hz | No | 660 Hz |
| ↓ Cuarta | 495 Hz | No | 495 Hz |
| ↑ Quinta | 742,5 Hz | No | 742,5 Hz |
| ↓ Cuarta | 556,875 Hz | No | 556,875 Hz |
| ↑ Quinta | 835,3125 Hz | No | 835,3125 Hz |
| ↓ Cuarta | 626,484375 Hz | No | 626,484375 Hz |
| ↑ Quinta | 939,7265625 Hz | :2 | 469,86328125 Hz |
| ↓ Cuarta | 704,794921875 Hz | No | 704,794921875 Hz |
| ↑ Quinta | 1057,192382812 Hz | :2 | 528,596191406 Hz |
| ↓ Cuarta | 792,894287109 Hz | No | 792,894287109 Hz |
| ↑ Quinta | 1189,341430664 Hz | :2 | 594,670715332 Hz |
| ↓ Cuarta | 892,006072998 Hz | No | 446,003036499 Hz |
¡Anda! ¡Nos ha salido exactamente lo mismo que cuando solamente subíamos quintas! Pues claro que sí, ya lo habíamos demostrado matemáticamente antes. Y al igual que en el cálculo anterior, acabamos con un valor que es muy próximo a la frecuencia inicial, pero no exactamente igual: la quinta del lobo.
Estos serían los sonidos correspondientes ya con las frecuencias corregidas:
Esta progresión de quintas o, mejor dicho, de quintas ascendentes y cuartas descendentes, la podemos ver en las partituras musicales al comienzo de un pentagrama, en lo que se conoce como armadura:
Como podéis ver, las armaduras con sostenidos siguen la progresión Fa-Do-Sol-Re-La-Mi-Si. En las que llevan bemoles, la progresión es la inversa: Si-Mi-La-Re-Sol-Do-Fa. Y en ambos casos son progresiones de quintas.
Si tomamos cualquier nota base, y aplicamos esa secuencia de quintas/cuartas, lo que obtenemos son las 12 notas de una escala cromática. Para entendernos, la escala cromática contiene todas las notas de la escala musical que ya conocemos todos (la escala diatónica que construimos antes), junto con los sostenidos/bemoles de los tonos intermedios (7 notas naturales de la escala diatónica más 5 notas alteradas). En el teclado de un piano, la escala diatónica de Do estaría formada por las teclas blancas, mientras que la escala cromática de Do estaría formada por todas las teclas, blancas y negras.
A esa secuencia de quintas, ordenada en un círculo, se le conoce como Círculo de Quintas, mundialmente famoso entre los guitarristas sobre todo:
Venga, que estamos ya casi terminando. Vamos a reordenar las notas anteriores de más graves a más agudas, y veamos lo que tenemos. Para terminar bien la octava, hemos puesto al final la nota de 892 (y pico) Hz sin corregirle la frecuencia, para que nos quede una octava más alta y cerrar bien la escala:
| Posición | Frecuencia sin corregir | Frecuencia corregida |
|---|---|---|
| 1 | 440 Hz | 440 Hz |
| 2 | 939,7265625 Hz | 469,86328125 Hz |
| 3 | 495 Hz | 495 Hz |
| 4 | 1057,192382812 Hz | 528,596191406 Hz |
| 5 | 556,875 Hz | 556,875 Hz |
| 6 | 1189,341430664 Hz | 594,670715332 Hz |
| 7 | 626,484375 Hz | 626,484375 Hz |
| 8 | 660 Hz | 660 Hz |
| 9 | 704,794921875 Hz | 704,794921875 Hz |
| 10 | 742,5 Hz | 742,5 Hz |
| 11 | 792,894287109 Hz | 792,894287109 Hz |
| 12 | 835,3125 Hz | 835,3125 Hz |
| 13 | 892,006072998 Hz | 892,006072998 Hz |
Y aquí los sonidos:
¿Qué tal? Suena decente, ¿no? Si todavía no os dice nada la secuencia anterior, probad a reproducir los sonidos de las posiciones 1-3-5-6-8-10-12-13, que corresponderían con la escala diatónica. ¿Ahora sí?
Pues enhorabuena. Solamente con unas matemáticas básicas hemos construido una escala cromática.
Para los que os estéis preguntando si la afinación pitagórica mejora algo respecto de la natural, aquí tenéis la comparación de los intervalos::
| Nota o grado | Proporción del intervalo con la nota anterior en la afinación natural |
Proporción del intervalo con la nota anterior en la afinación pitagórica |
|---|---|---|
| 1º | 1/1 | 1/1 |
| 2º | 9/8 | (3/2)·(3/4) = 9/8 |
| 3º | 10/9 | (3/2)·(3/4) = 9/8 |
| 4º | 16/15 | (3/2)4·(3/4)3·(1/2) = 2187/2048 |
| 5º | 9/8 | 2·(4/3)5·(2/3)5 = 131072/177147 |
| 6º | 9/8 | (3/2)·(3/4) = 9/8 |
| 7º | 10/9 | (3/2)·(3/4) = 9/8 |
| 1º (Oitava) | 16/15 | (4/3)2·(2/3)3 = 128/243 |
Para no extendernos mucho, os dejo a vosotros que hagáis los cálculos. Tan solo tenéis que ir revisando cuáles son los factores por los que tenemos que multiplicar la frecuencia fundamental para ir llegando a cada una de las notas. Tenéis que tener en cuenta que las notas de la escala cromática que se corresponden con la escala diatónica son las posiciones 1-3-5-6-8-10-12-13 que hemos dicho antes.
Lo que sí podemos decir es que la afinación pitagórica es un pelín más homogénea que la afinación natural, porque en la natural tan solo teníamos tres intervalos con proporción 9/8 y en la pitagórica tenemos cuatro.
— Menos mal, menuda chapa. Me ha costado estarme callado y no mandar todo a tomar viento. Hemos acabado, ¿no?
— Mmmmm, no.
— ¿No?
— No.
— (jura en varias lenguas muertas)
Esa pequeña disonancia lobuna… #
Tenemos un pequeño problemilla con la quinta del lobo. Vamos a escuchar de nuevo la primera nota de la secuencia anterior, la tónica, junto con la posición 13 que es la misma nota, pero en la siguiente octava:
Si tenéis un oído medio normal, os habrá sonado medio bien. Si tenéis un oído algo fino, habréis visto que “chirría” un poco.
Vamos a escuchar ahora la misma nota pero con su octava natural, esto es, la octava que sale al duplicar la frecuencia:
Escuchad varias veces ambos sonidos, y acabaréis apreciando la (no tan) sutil diferencia. Si después de varias escuchas alternando ambos sonidos seguís sin apreciar la diferencia, que sepáis que Mike Oldfield está muy preocupado por vuestra salud. URL
El sonido con la octava pitagórica muestra una ligera disonancia, y se explica porque la frecuencia de la octava no es exactamente el doble de la frecuencia base. En el caso de la octava natural, no existe disonancia porque una frecuencia es exactamente el doble de la otra.
La única alternativa para asegurar que las octavas se mantienen, es hacer que los intervalos dentro de la escala cromática no sean todos iguales.
Vamos, Marty. Tenemos que viajar unos cuantos siglos hacia el futuro. #
A lo largo del tiempo se intentaron sistemas para cuadrar la afinación y evitar la quinta del lobo, pero las Matemáticas son tozudas y es inevitable que alguno de los intervalos quede desigualado si queremos mantener las octavas naturales. De las diferentes posibilidades en cuanto a decidir dónde ponían las desigualdades entre semitonos surgieron diferentes sistemas de afinación, como por ejemplo la afinación mesotónica basada en terceras mayores.
¿Era un problema esto de tener un semitonos desiguales? Pues sí y no. Musicalmente no era demasiado grave, es decir, no sonaba mal. Pero tenía inconvenientes, por ejemplo, si intentabas tocar con instrumentos construídos para diferentes octavas. Un instrumento construido para dar una octava natural de Do a Do no iba a sonar exactamente igual que si se construía para una octava natural de Mi a Mi. Al tocar un Re en ambos instrumentos, sonarían diferentes.
Y llegamos al siglo XVI.
La escala temperada. #
En el siglo XVI los únicos que usaban la afinación temperada eran los fabricantes de instrumentos de cuerda con trastes. Sin embargo, los músicos de teclado todavía usaban la afinación mesotónica y tardaron unos doscientos años más en adoptar la afinación temperada.
Se le atribuye a J. S. Bach la adopción de la afinación temperada debido a su obra El clave bien temperado, pero lo cierto es que en esta obra el bueno de Johann solo pretendía componer 24 preludios y 24 fugas que abarcasen todas las tonalidades y no estaba pensando en el temperamento igual sino en el mesotónico, que era lo que se llevaba en su época y más o menos quedaba resultón al usar diferentes tonalidades.
El sistema temperado no comenzó a ser utilizado por los grandes fabricantes de pianos hasta ya entrado (y en algunos casos, avanzado) el siglo XIX.
¿Pero qué es esto del temperamento igual, afinación temperada, o como queráis llamarlo?
Pues no es más que una respuesta muy, muy simple, a la pregunta: ¿Podemos tener una escala donde todos los semitonos sean iguales?
Pues claro que sí. Veamos cómo:
- Lo único que debemos tener en cuenta es que las octavas deben seguir siendo naturales (su relación de frecuencias debe ser 2:1).
- Todos los semitonos deben ser iguales, luego la relación de frecuencias entre una nota y la siguiente debe ser siempre la misma.
- Partiendo de la nota que llamaremos tónica, al dar doce saltos debemos llegar a su octava natural.
- Por lo tanto, si la frecuencia de la tónica es Ft y la relación del intervalo es i, tenemos que Ft·i·i … ·i (12 veces) = 2·Ft
- Si escribimos eso mismo utilizando potencias, tenemos que Ft·i12 = 2·Ft
- Y por lo tanto la relación de frecuencias que estamos buscando es la raíz doceava de 2, que equivale a un factor de 1,059463094359.
— Pero la raíz doceava de 12 no es un número entero, ¿no?
— Nop.
— Y tampoco es una fracción de número enteros, ¿verdad?
— Nop.
— ¿Y qué opinan los griegos de todo esto?
— Pitágoras ya hace mucho que se murió, el pobre.
— Menos mal. Si ve esto se moría otra vez, del susto.
Pues sí. El mundo occidental tardó muchos siglos en tirar la toalla y olvidarse de los números enteros para construir escalas. La afinación temperada acabó imponiéndose y es la que se usa en la actualidad. Nuestros oídos se han acostumbrado y no nos resulta ya extraño que en un intervalo de quinta la relación de frecuencias ya no sea exactamente 3:2, sino algo ligeramente diferente.
Cuáles serían las frecuencias de nuestra escala con la afinación temperada? Pues si partimos de la misma nota base, esto es, un La4 a 440 Hz, tendríamos esto:
| Nota | Frecuencia |
|---|---|
| La4 | 440 Hz |
| La#4 | 466,1637615181 Hz |
| Si4 | 493,8833012561 Hz |
| Do5 | 523,2511306012 Hz |
| Do#5 | 554,3652619537 Hz |
| Re5 | 587,3295358348 Hz |
| Re#5 | 622,2539674442 Hz |
| Mi5 | 659,2551138257 Hz |
| Fa5 | 698,4564628660 Hz |
| Fa#5 | 739,9888454233 Hz |
| Sol5 | 783,9908719635 Hz |
| Sol#5 | 830,6093951599 Hz |
| La5 | 880 Hz |
Y estos serían los sonidos:
¿Es muy diferente la escala temperada? #
Cuál es la relación de frecuencias en un intervalo de quinta con la afinación temperada? Pues si cogemos las frecuencias de la nota tónica y de la octava nota (estamos en una escala cromática, y el quinto grado de la escala diatónica corresponde con la octava nota de la escala cromática) tenemos que:
659,2551138257 / 440 = 1,498307076877
, que es muy parecido a la relación de 3:2 de la quinta natural, pero no es exactamente igual. Lo sentimos mucho, Pitágoras.
Veamos cómo de diferente es la afinación temperada respecto de la pitagórica:
| Nota | Frecuencia pitagórica | Frecuencia temperada | Diferencia |
|---|---|---|---|
| La4 | 440 Hz | 440 Hz | 0 % |
| La#4 | 469,86328125 Hz | 466,1637615181 Hz | −0,787361 % |
| Si4 | 495 Hz | 493,8833012561 Hz | −0,225596 % |
| Do4 | 528,596191406 Hz | 523,2511306012 Hz | −1,011180 % |
| Do#4 | 556,875 Hz | 554,3652619537 Hz | −0,450682 % |
| Re5 | 594,670715332 Hz | 587,3295358348 Hz | −1,234495 % |
| Re#5 | 626,484375 Hz | 622,2539674442 Hz | −0,675261 % |
| Mi5 | 660 Hz | 659,2551138257 Hz | −0,112862 % |
| Fa5 | 704,794921875 Hz | 698,4564628660 Hz | −0,899334 % |
| Fa#5 | 742,5 Hz | 739,9888454233 Hz | −0,338203 % |
| Sol5 | 792,894287109 Hz | 783,9908719635 Hz | −1,122901 % |
| Sol#5 | 835,3125 Hz | 830,6093951599 Hz | −0,563035 % |
| La5 | 880 Hz | 880 Hz | 0 % |
Podemos apreciar que la escala temperada tiene su mínimo de separación precisamente en el intervalo de quinta (la octava nota de la escala cromática). En el resto de grados la desviación es mayor, pero solamente en tres casos supera el 1% de desviación.
A pesar de estas desviaciones de la escala temperada, posee la gran ventaja de que podemos coger cualquier frecuencia base y a partir de ella calcular todas las notas de su escala cromática simplemente multiplicando por la raíz doceava de 2. Cuando lleguemos a la octava, coincidirá con la octava natural.
Las notas tendrán siempre la misma frecuencia, sea cual sea la tonalidad que estemos utilizando. Esto quiere decir que un Re4 tendrá siempre la misma frecuencia tanto si hemos partido de un Do4 como tónica, como si hemos partido de un Mi3. Cuando lleguemos al Re4, la frecuencia será la misma en ambos casos, y por eso los instrumentos que utilizan afinación temperada no están sujetos a una tonalidad en concreto, sino que trabajan bien en cualquiera de ellas.
Ya, por último, vamos a escuchar las diferencias entre los intervalos naturales y los temperados.
Aquí tenéis un intervalo de quinta natural y otro de quinta temperada:
Aquí una tercera natural y una tercera temperada:
Y para finalizar, vamos a combinar una tercera y una quinta formando un acorde de La Mayor natural, y el mismo acorde de La Mayor, pero temperado:
¿A que cuesta distinguirlos? Cuando comparábamos la octava natural con la octava pitagórica, la diferencia entre ambas notas era de algo más del 1,3%. Se podía distinguir entre ambos a poco que nos fijásemos. En el caso de estos acordes temperados respecto de los naturales, las diferencias son de un 0,45% para el intervalo de tercera y un 0,11% para el intervalo de quinta. Hay que tener ya cierto oído para distinguirlos. Yo, personalmente, no soy capaz.
Parece que lo de la afinación temperada no es un mal invento.